Otázky

OTÁZKY!! (vysvětlení k individuálním odpovědím v závorce, špatné odpovědi mohou chybět, ale nejdůležitější jsou stejně odpovědi správné)

• formule nejsou přepsané do Latexu protože není moc čas Link / skok úplně nahoru
  

1) Pro formuli $p \supset (q \lor \neg q)$

💚 Je splnitelná (v pravdivostní tabulce má aspoň jeden řádek na konci jedničku, tato formule je dokonce tautologie)
💚 Je ekvivalentní s formulí $(p \land q) \supset q$ (obě formule mají stejné výsledky pravdivostní tabulky – jsou tautologiemi)
💚 Je ekvivalentní s formulí $q \supset (\neg p \lor p)$ (obě formule mají stejné výsledky pravdivostní tabulky – jsou tautologiemi)
💚 Je logicky pravdivá, neboť konsekvent implikace je v každé valuaci výrokové proměnné q pravdivý.
💥 Její negace je splnitelná formule (její negace je kontradikce, přotože původní je tautologie)

2) Pomocí rezoluční metody v PL1

💚 Lze syntaticky ověřovat platnost Aris. sylogismů. ((jsou to pozůstatky / fragment PL)
💚 Lze ověřit platnost libovol. Aris. sylogismu. ((jsou to pozůstatky / fragment PL)
💚 Lze nepřímo dokazovat platnost daného úsudku. (rezolučka umí dokazovat přímo i nepřímo)
💚 Lze parciálně ověřit tautologičnost formule.
💚 Lze nepřímo dokázat tautologičnost formule.
💚 Lze parciálně rozhodnout tautologičnost formule.
💥 Ověřujeme, zda závěr vyplývá z nespočetné množiny předpokladů (toto je case diagramů nebo VL, ale určitě ne PL)

3) Sémantická metoda ve VL

💚 Aplikovaná na daný úsudek ověřuje, zda závěr pravdivý ve všech modelech předpokladů (ano, sémantika je přece jenom o pravdivostních hodnotách výroků)
💚 Není metoda sémantických tabel (sémantické tabla, také tree proof, je grafická metoda)
💚 Je tabulková metoda a metoda sémantickým sporem (rozumíme pravdivostní tabulku nebo důkaz sporem)
💚 Ověřuje platnost pomocí valuací výrokových proměnných.

4) Mějme množiny A = {1,2,3}, B = {b} a relaci R. Která z následujících tvrzení jsou platná?

💚 Pokud relace R je definována jako podmnožina A x B: {[1,b], [2,b], [3, b]}, pak se jedná o surjektivní zobrazení
💚 Pokud relace R je def jako podmnožina BxA: {[b,1],[b,2],[b,3]},nejedná o zobrazení. (pozor! místo A x B je tu B x A)
💚 Pokud relace R je definována jako podmnožina B x A $\cup$ A x B a jedná se o symetrickou relaci. Pokud je v relaci R dvojice [1,b], pak se v relaci R nachází rovněž dvojice [b,1]
💚 Pokud relace R je definována jako podmnožina A x B: {[1,b], [2,b], [3, b]}, pak se nejedná o injektivní zobrazení
💚 Pokud relace R je def jako podmnožina BxA sjednoceno s AxB a jedná se o symetrickou relaci, potom je v relaci R dvojice [1,b], pak se v relaci R nachází rovněž dvojice [b,1].

5) Které z tvrzení platí pro formuli $\forall x \forall y$ [P(x,y) $\supset$ Q(f(x),y)]

💚 V jejím modelu je binární relace P podmnožinou relace Q (binární relace má dva argumenty - zde "y", které je u obou stejné a "x", které se v Q aplikuje do funkce)
(TO DÁLE ZNAMENÁ:)
💚 Je splnitelná, neboť existuje její model.
💚 Má jako svůj model například tuto interpretační strukturu:
U = N (množina přir. čísel),
P={[x,y]|x=y}, Q={[x,y]|x>=y},
f' ... druhá mocnina.
💚 Relace Q funkční symbol se interpretuje jako totální funkce.
💚 Funkční symbol se interpretuje jako totální funkce.

6) Metoda Vennových diagramů

💚 Je sémantická metoda, která ověřuje, zda závěr je platný ve všech modelech předpokladů
💚 Je sémantická metoda, kterou lze ověřit platnost Aristotelových sylogismů (sémantické metody pro PL a Aristetolovu logiku obsahují Venn. Diagramy)
💚 Používá se pro ověření platnosti úsudků v PL1 s maximálně třemi jednomístnými predikáty (ve cvičeních min. 2 množiny a max 3)
💚 Je založena na naivní teorii množin (predikáty jsou podobné množinám)

7) Která z následujících tvrzení platí pro tuto situaci: množina A je podmnožinou množiny B.

💚 Rozdíl množiny A a B je prázdná množina (V množině A by nic nezbylo - dle definice podmnožiny)
💚 Doplněk množiny B leží v doplňku množiny A (doplněk je odečítání druhý od prvního)
💚 Všechny prvky množiny A leží v množině B i v případě, že A je prázdná množina.
💚 Prvek leží v množině A pouze když leží v množině B.
💚 Množina A je identická množině B, právě když mají stejné prvky, to jest, když všechny prvky náležící množině A náleží také množině B a naopak.

8) Následující úsudek:

Číslo 2 je nezáporné.
Číslo 2 je prvočíslo.
◻️◻️◻️
Číslo 2 je dělitelné samo sebou beze zbytku.
💚 Je neplatný, protože závěr z premis nevyplývá (logika je jako AI, nechápe souvislost mezi tím, že 2 je „členem prvočísel“ a tím, že prvočísla, tedy i 2, jsou dělitelné samo sebou beze zbytku)
(TO ZNAMENÁ ŽE:)
💚 Je neplatný, protože formalizujeme-li jej, pak závěr není platný v libovolném modelu předpokladů.
💚 Má v určité interpretační struktuře premisy pravdivé i závěr pravdivý, ale není platný.

9) Které z tvrzení platí pro formuli $\forall x[P(x) \supset Q(a,b)]$

💚 Formule $[\exist xP(x) \supset Q(a,b)]$ z ní vyplývá.
💚 Je ekvivalentní formuli $[\exist xP(x) \supset Q(a,b)]$
💚 Je ekvivalentní s formulí $[\neg \exist xP(x) \lor Q(a,b)]$ (mají stejné modely)
💚 Má stejné modely jako formule $[\neg \exist xP(x) \lor Q(a,b)]$
💥 Je ekvivalentní s formulí $[\forall xP(x) \supset Q(a,b)]$
💥 Je ekvivalentní s formulí $[\neg \exist xP(x) \supset Q(a,b)]$
💥 Její negací je formule $\forall x[P(x) \lor \neg Q(a,b)]$ (není ani změněný kvantifikátor)

10) Pomocí rezoluční metody ve VL

💚 Lze ověřit, zda negovaná formule je kontradikce.
💚 Lze nepřímo dokázat tautologičnost formule.
💚 Lze ověřit tautologičnost formule a platnost úsudku VL.
💚 Lze nepřímo dokázat platnost úsudku.
💥 Lze ověřit, že tento úsudek je platný:
Všechny opice jsou krásné,
Judy je opice
◻️◻️◻️
Judy je krásná. (platí pro PL a ne VL)

11) Která z následujících tvrzení jsou pravdivá?

💚 Relace je podmnožina kartézského součinu
💚 Následující relace nad celými čísly jsou totální funkce: sčítání, násobení, rozdíl (dělení je parciální)
💚 Všechny podmnožiny relace A = {<1, 2>, <2, 4>, <3, 6>} jsou relacemi
💚 Funkce dělení na celých číslech je parciální
💚 Pokud v metodě přirozené dedukce zavedeme hypotézu H a odvodíme z ní formuli A, pak jako řádný krok důkazu musíme zavést formuli $H \supset A$
💚 Princip unifikace v obecné (…), kdy je $\vdash \forall x Px \supset P(X/term)$
💚 Metodou sémantických tabel využívá disjunktivních zákonu
💚 Správnost úsudku ověřujeme bez empirického zkoumání stavu světa
💚 Pro automatizované ověření platnosti úsudku je důležitá jeho správná formalizace
💚 Hilbertův kalkul je úplný kalkul stejně jako metoda přirozené dedukce.
💥 Funkce sčítání reálných čísel je pouze parciální
💥 Zobrazení není relace (relace je zobrazení)

12) Které z následujících systémů spojek ve VL jsou úplné:

💚 negace, konjunkce
💚 negace, disjunkce
💚 negace, implikace
? neg, konjunkce, disjunkce (spíše 💚)
💥 disjunkce, implikace
💥 konjunkce, disjunkce
💥 konjunkce, implikace
💥 konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence
(víme, že \{\neg , \lor , \land , \Rightarrow} tvoří úplný systém logických spojek.. nyní si stačí uvědomit, že platí: $(a \Rightarrow b)$ |=| $(\neg a \land b)$ a $(a \lor b)$ |=| $\neg (\neg a \land \neg b)$.. 3. množina \vartriangle = \{\neg , \lor } tvoří úplný systém logických spojek - jediné správné kombinace jsou: $(\neg ,\rightarrow)$, $(\neg ,\lor )$, $(\neg ,\land )$, SOURCE: MUNI)

13) Označte, které z následujících formulí jsou logicky pravdivé.

💚 $[\forall xP(x) \land \forall xQ(x)] \supset \forall x[P(x) \land Q(x)]$ (přesouvání kvantifikátoru jako krok 6 skolemizace - zákon distribuce kvantifikátorů!!)
💚 $\forall x P(x) \supset (Q(y) \supset \forall x P(x))$
💚 $\forall x [Px \lor Q(x)]\equiv [\forall x Px \lor \forall xQ(x)]$
💚 $\neg \exist x[A \supset B(x)] \equiv \forall x[\neg A \land B(x)]$ (modely)
💚 $\exist x[P(x) \lor Q(x)] \supset [\exist xP(x) \lor \exist xQ(x)]$
(přesouvání kvantifikátoru jako krok 6 skolemizace - zákon distribuce kvantifikátorů!!)
💚 $\neg \exist x[P(x) \lor Q(x)] \supset [\forall xP(x) \land \forall xQ(x)]$ (negace, přesouvání kvantifikátoru jako krok 6 skolemizace - zákon distribuce kvantifikátorů!!)
💚 $A(x/y) \supset \exist xA(x)$ (term t je substituovatelný za proměnnou x)
💥 $\neg \forall x[P(x) \lor Q(x)] \equiv [\exist xP(x) \lor \exist xQ(x)]$
💥 $\neg [\forall xP(x) \supset (Q(y) \supset \forall xP(x))] \equiv [\exist x\neg P(x) \land (Q(y) \lor \exist xP(x))]$
💥 $\forall xA(x) \equiv \exist xA(x)$ (není to samé)
💥 $\forall x\forall yA(x,y) \supset \forall x\forall y\neg A(x,y)$
💥 $\exist x\forall yA(x,y) \equiv \exist y\forall xA(x,y)$ (nemůžeme vyměnit proměnné v kvantifikátorech)
(logicky proveditelné / platné:
💚 $\forall xPx \supset Qy \supset \forall xPx$
💚 $[\forall xPx \land \forall xQx] \supset \forall xPx \land Qx$
💚 $\forall x[Px \lor Q(x)] \equiv [\forall xPx \lor \forall xQ(x)]$
💚 $[\neg \exist x\forall yPx,y \supset \forall y\exist xPxy] \equiv [\exist x\forall y Px,y \lor \exist y\forall x\neg P(x,y)]$
)

14) Určete, které z následujících úsudků jsou logicky platné:

💚 Venku prší. Karel je veselý. Venku prší. (pokud je závěr v předpokladu, tak vyplývá)
💥 Každý filozof je líný. Petr není filozof. Petr není líny. (Petr může být líný, není nijak dáno, že jenom filozofové jsou líní)
💥 Každý pes je zelený. Alík není pes. Alík není zelený. (stejné vysvětlení jako u filozofů)
💥 Venku sněží. Svítí slunce. Venku nesněží. (spor)

15) Složené výroky ve VL jsou:

💚 Dnes sněží a mrzne.
💚 Jestliže bude sněžit, tak si postavíme sněhuláka. 💥 Sněhová královna vládne v říši sněhu a ledu. (neexistuje sněhová královna, nemá smysl se nad tímto vůbec zamýšlet)
💥 Mrzne až praští. (subjektivní)
💥 Z čerstvě napadaného sněhu se velmi dobře budují velké hromady. (nemá ani spojku)
💥 Lední hokej je velmi zajímavý sport pro všechny věkové kategorie. (subjektivní a není tam ani spojka)

16) 🔴 Nechť PU a QU jsou obory pravdivosti predikátů P, Q. Pak:

💚 Je-li formule $\forall xPx \supset Qx$ v dané interpretaci pravdivá, pak platí, že $PU \subseteq QU$
💚 Je-li formule $\forall x[P(x) \lor Q(x)]$ v dané interpretaci pravdivá, pak platí, že $PU = QU$.
💚 Je-li formule $\exist x[P(x) \lor Q(x)]$ v dané interpretaci pravdivá, pak platí, že $(PU \cap QU)$ je neprázdný.
💚 Je-li formule $\exist x[P(x \supset Q(x)]$ logicky pravdivá, pak PU není identické s universem U nebo $QU = U$.
💚 Formule $\forall x[P(x) \supset Q(x)] \supset [\exist xP(x) \supset \exist xQ(x)]$ je logicky pravdivá, neboť jeli $PU \subset QU$, pak je-li $P \cup Q$ neprázdné, je také QU neprázdné.
💚 Formule $\forall x[P(x) \supset Q(x)] \supset [\forall xP(x) \supset \forall xQ(x)]$ je logicky pravdivá, neboť je-li $PU \subseteq QU$, pak je-li $PU = U$, je také QU.
💚 Formule $\forall x[P(x) \supset Q(x)] \equiv [\exist xP(x) \supset \forall xQ(x)]$ je logicky pravdivá, neboť je-li $PU \subseteq QU$, pak je-li PU neprázdné, tak $QU = U$.

💚 Formule $[\exist xP(x) \lor \exist xQ(x)] \supset \exist x[P(x) \lor Q(x)]$ je logicky pravdivá, neboť je-li $(PU \cap QU)$ neprázdný, pak musí být jak PU, tak QU neprázdné.
💚 Formule $[\forall xP(x) \land \forall xQ(x)] \equiv \forall x[P(x) \land Q(x)]$ je logicky pravdivá, neboť je-li $PU = U$ nebo $QU = U$, pak je také sjednocení $(PU \cup QU) = U$.
💚 Formule $\exist x[P(x) \lor Q(x)] \supset [\exist xP(x) \lor \exist xQ(x)]$ je logicky pravdivá, neboť je-li $(PU \cap QU)$ neprázdné, pak musí být jak PU, tak QU neprázdné.
💚 Formule $\exist x[P(x) \land Q(x)] \equiv [\exist xP(x) \land \exist xQ(x)]$ je logicky pravdivá, protože je-li $(PU \cup QU)$ neprázdné, pak musí být PU nebo QU neprázdné množiny a naopak.

17) Určete, které z následujících tvrzení jsou pravdivé:

💚 Relace použité pro interpretaci v PL1 musí být homogenní.
💚 Princip unifikace v obecné (…), kdy je $\vdash \forall x Px \supset P(X/term)$.
💚 Metodou sémantických tabel využívá disjunktivních zákonu.
💚 Libovolnou n-argumentovou funkci lze vyjádřit pomocí $n+1$ argumentové relace.
💚 Správnost úsudku je dána pouze logickou strukturou premis a závěru.
💚 Správnost úsudku ověřujeme bez empirického zkoumání stavu světa.
💚 PL1 pracuje pouze s totálními funkcemi, tj. takovými, kdy každý vzor má právě jeden obraz.
💚 Metodou přirozené dedukce v PL 1 lze dokazovat jak přímo, tak i nepřímo.
💚 Pokud je množina A vlastní podmnožinou B, pak B má alespoň jeden prvek, který neleží v A.
💚 Při použití obecné rezoluční metody obecně vedeme důkaz nepřímo.
💚 Sound argument je takový, jehož premisy jsou pravdivé, tedy i závěr je pravdivý.
💚 Pokud je množina A vlastní podmnožina množiny B, pak B má aspoň jeden prvek, který neleží v A.
💚 Všechny podmnožiny relace A = {<1,2>,<2,4>,<3,6>} jsou relacemi.
💚 Operaci rozdíl libovolných dvou množin lze vyjádřit pomocí operace doplňku na těchto dvou množinách.
💚 Potenční množina množiny M je množina všech podmnožin množiny M, tedy mezi její prvky patří i množina M.
💚 Pokud v metodě přirozené dedukce zavedeme hypotézu H a odvodíme z ní formuli A, pak jako řádný krok důkazu musíme zavést formuli $H \supset A$
💚 Funkce dělení na celých číslech je parciální.
💚 Relace je podmnožina kartézského součinu.
💚 Následující relace nad celými čísly jsou totální funkce: sčítání, násobení, rozdíl.
💚 Pro automatizované ověření platnosti úsudku je důležitá jeho správná formalizace.
💚 Hilbertův kalkul je úplný kalkul stejně jako metoda přirozené dedukce.
💥 Jestliže jsou premisy i závěr pravdivé, pak je úsudek platný. (neplatí, potvrzeno Menšíkem)
💥 Predikátová logika druhého řádu je méně expresivní než PL1. (druhý řád je víc expresivní - logicky)
💥 Každý platný úsudek, který jsem schopni adekvátně formalizovat v PL1, jsme schopni adekvátně formalizovat i ve VL tak, že zůstane platným.
💥 Ze sporné množiny předpokladů nemůže vyplývat pravdivý závěr.
💥 Funkce je libovolná podmnožina kartézského součinu.
💥 Relace je pouze zprava jednoznačné zobrazení.
💥 Funkce použité pro interpretaci v PL1 mohou být parciální, tj. takové, kdy každý vzor má minimálně jeden obraz. (parciální = nemá žádný obraz)
💥 Množiny jsou identické, právě když mají stejný počet prvků.
💥 Pokud existuje nějaký prvek, který je v množině A a není v množině B, potom je B nutně podmnožinou množiny A.
💥 Pokud mají dvě množiny stejnou mohutnost, pak jsou identické.
💥 Průnik dvou libovolných množin je vždycky neprázdný.

18) Nechť F je formule VL obsahující literály a, b, c, pak F:

💚 Má celkem 8 ohodnocení. (2 na počet literálů)
💚 Je splnitelná, pokud je tautologií.
💚 Je nesplnitelná, pokud nemá model.
💚 Může být převedena do úplné konjunktivní normální formy, pokud není tautologíí.
💥 Je tautologií, pokud existuje alespoň jeden model. (musí být všechny model)
💥 Je sporná, pokud aspoň jedno ohodnocení není modelem.
💥 Je kontradikcí, pokud nemá alespoň jeden literál pravdivé ohodnocení. (neřešíme literály, ale modely a nesmí být žádný model)

19) Pomocí Vennových diagramů provádíme v PL1:

💚 Ověřování platnosti úsudků, které jsou složeny ze tří subjekt-predikátových (S-P) výroků (kde S i P jsou nějaké vlastnosti).
💚 Ověřování platnosti libovolných úsudků v PL1.
💚 Kontrolu správnosti kategorických sylogismů. (Aristetol. sylogismy)
💚 Ověřování platnosti úsudků v PL1, pokud obsažené predikáty jsou unární. (P(x) řešíme s těmito predikáty)
💥 Ověřování platnosti úsudků v logikách vyšších řádů než PL1.
💥 Kontrolu správnosti úsudků, které jsou složeny z elementárních výroků VL.
💥 Ověřování platnosti úsudků v PL1, pokud obsažené predikáty jsou aspoň binární.

20) Nechť $A, B \models C$ a $A, C \models D$, pak:

💚 Formule A je pravdivá ve všech modelech množiny formulí {B, C}.
💚 Formule D je pravdivá v každém modelu množiny formulí {A, C}.
💚 $A,C \models C$
💥 Pokud jsou formule A, B nepravdivé, pak je i C nepravdivé.
💥 Když není pravdivá formule D, tak není pravdivá ani A ani B.

21) Nechť platí: $A, B, C \models D$, pak:

💚 D je formule pravdivá v každém modelu množiny formulí {A, B, C}.
💚 $A, B \models D$
💚 $A, B, C, E \models D$
💚 Nemůže nastat případ, kdy formule A, B, C jsou v určené interpretaci pravdivé a formule D není
💚 Pokud je D nepravdivá formule, pak je alespoň jedna formule z A, B, C nepravdivá
💥 Formule D nemusí být pravdivá v každém modelu množiny formulí {A, B, C}, avšak musí být pravdivá v aspoň jednom.
💥 Množina formulí $(A, B, C, \neg D)$ má model.
💥 A, B, C, D jsou nutně pravdivé

22) Která z následujících tvrzení jsou správné?

💚 Žádná valuace kde $q=0$ a $r=0$, není modelem formule $(p \supset q) \lor (q \land r)$
💚 Jedním z modelů formule $(p \supset q) \lor(q \land r)$ je valuace $p=0$, $q=0$, $r=1$
💚 Každá valuace, pro kterou je $q=1$, je modelem formule $(p \supset q) \lor (q \land r)$
💚 Formule $\forall x[P(x) \supset Q(x)]$ definuje v dané interpretaci vztah „být podmnožinou“ mezi obory pravdivosti P a Q. (pokud je členem P tak je členem Q)
💚 Formule $\exist x[P(x) \supset Q(x)]$ definuje v dané interpretaci vztah „být podmnožinou“ mezi obory pravdivosti P a Q. (pokud je členem P tak je členem Q)
💚 Formule $\forall xPx \supset \neg Qx$ definuje v dané interpretaci vazbu „být disjunktem“ … P a Q
💚 Každá formule tvaru $\exist xP(x)$ definuje v dané interpretaci určitou podmnožinu universa.
💚 Každá formule tvaru $P(x)$ s volnou proměnnou x definuje v dané interpretaci určitou podmnožinu universa.
💚 když chceme rezoluční metodu použit v PL tak je nutno formuli dát to Skolemovy klauzulární formy.
💥 Formule $\forall x[P(x) \supset \neg Q(x)]$ definuje v dané interpretaci vztah „být podmnožinou“ mezi obory pravdivosti P a Q.

23) Určete, co platí pro klausuli:

💚 Je to konečná disjunkce literálů.
💚 Je to elementární disjunkce.
💚 Neobsahuje konjunkci.
💚 Neobsahuje implikaci.
💥 Je to elementární konjunkce.
💥 Obsahuje pouze konjunkci literálů.
💥 Je to konečná konjunkce výrokových symbolů.
💥 Obsahuje pouze výrokové proměnné.

24) Která z následujících tvrzení jsou platná pro vztahy mezi množinami:

💚 Množina A je identická množině B, právě když mají stejné prvky, to jest, když všechny prvky náležící množině A náleží také množině B a naopak.
💚 Množina A je vlastní podmnožinou množiny B, značíme $A \subset B$, právě tehdy, když každý prvek z A je také prvkem B a ne naopak.
💚 Prázdná množina je podmnožinou každé množiny.
💚 Pokud je množina A vlastní podmnožinou množiny B, pak B má aspoň jeden, který neleží v A.
💥 Z definice podmnožiny plyne, že ne každá množina je svou podmnožinou.
💥 Množina A se rovná množině B, právě když každý prvek A je také prvkem B a ne naopak.
💥 Prázdná množina není podmnožinou žádné množiny.
💥 Množina A je podmnožinou množiny B, značíme $A \subseteq B$, právě tehdy a jen tehdy, když mají identické prvky.
💥 Množina A je vlastní podmnožinou množiny B, značíme $A \subset B$, právě když každý prvek A je také prvkem B.
💥 Množina A se rovná množině B, právě když každý prvek A je také prvkem B a ne naopak.

25) Která z následujících tvrzení platí pro rezoluční metodu ve VL?

💚 Rezoluční metoda umožňuje prokázat platnost úsudku jak sporem, tak přímou metodou.
💚 Platnost úsudku nezávisí na interpretaci.
💚 V případě nepřímého důkazu tautologičnosti pomocí rezoluční metody formule $((a \supset b) \lor (b \supset c) \supset (a \supset c)$ dojde k odvození prázdné klausule.
💚 Pro důkaz pomocí rezoluční metody je nutné převést formuli do KNF.
💥 Pro důkaz pomocí rezoluční metody je nutné převést formuli do UKNF.
💥 Pro důkaz pomocí rezoluční metody je nutné převést formuli do UDNF.
💥 Pro důkaz pomocí rezoluční metody je nutné převést formuli do DNF.
💥 V případě nepřímého důkazu tautologičnosti formule $((a \supset b) \lor (b \supset c) \supset (a \supset c)$ pomocí rezoluční metody nedojde k odvození prázdné klausule. (DOJDE!)

26) Která tvrzení platí:

💚 Pokud mě zajímá podoba výsledné pravdivostní funkce dané formule, použiji tabulkovou metodu nikoli rezoluční.
💚 Formule VL má 2 na "n" možných valuací, kde "n" je počet výrokových proměnných v dané formuli.
💚 Pokud výrokově logický úsudek zapíšeme ve tvaru formule $(P1 \lor P2 \lor … \lor Pn) \supset Z$, kde P1 až Pn jsou premisy a Z je závěr, pak je úsudek platný tehdy a jen tehdy, když je tato formule pravdivá v každé valuaci.
💚 Metoda sémantických tabel je grafická metoda aplikace distributivního zákona.
💚 Metoda ověřování tautologičnosti formule sémantickým sporem ověřuje, zda existuje valuace, která splňuje negovanou formuli.
💥 Důkaz pomocí rezoluční metody lze vést ve VL pouze přímo.
💥 Rezoluční pravidlo lze na formuli F uplatňovat, pouze když je formule převedena do úplné normální konjunktivní formy.
💥 Rezoluční pravidlo ve VL zachovává splnitelnost, ale nikoliv pravdivost.
💥 Každá tautologie tvoří úplnou konjunktivní i disjunktivní normální formu.

27) Mějme množiny A, B, C. Pak množina $(A \cap (B \cup C)$:

💚 Je prázdná, pokud A neobsahuje alespoň jeden prvek z B nebo z C.
💚 Je prázdná vždy, když $(B \cup C)$ je prázdná.
💚 Je prázdná vždy když A je prázdná.
💚 Obsahuje maximálně $|A|$ prvků.
💥 Obsahuje minimálně $|B|+|C|$ prvků.
💥 Je prázdná, pokud alespoň jedna z množin A, B, C je prázdná.
💥 Je vždy prázdná.
💥 Je neprázdná, pokud každá z množin A, B, C je neprázdná.

28) Co následujícího platí? (je fajn si tu udělat pravdivostní tabulku)

💚 Jedním z modelů formule $(p \supset q) \lor (q \land r)$ je valuace $p=0$, $q=0$, $r=1$.
💚 Každá valuace, pro kterou je $q=1$, je modelem formule $(p \supset q) \lor (q \land r)$.
💥 Žádná valuace, pro kterou $p=0$ a $q=0$, není modelem formule $(p \supset q) \lor (q \land r)$.
💥 Valuace $p=1$, $q=0$, $r=1$ je modelem formule $(p \supset q) \lor (q \land r)$.
💥 Formule $(p \supset q) \lor (q \land r)$ má právě 2 modely. 💥 Žádná valuace, pro kterou $q=0$, není modelem formule $(p \supset q) \lor (q \land r)$.

29) Která z následujících formulí patří mezi zákony komutace kvantifikátorů?

💚 $\forall x\forall y A(x,y) \equiv \forall y\forall x A(x,y)$
💚 $\exist x\forall y A(x,y) \supset \forall y\exist x A(x,y)$
💚 $\exist x\exist y A(x,y) \supset \exist y\exist x A(x,y)$

30) Formule F je splnitelná v interpretaci

💚 Právě tehdy když existuje ohodnocení e proměnných takové, že platí $\models F[e]$ v interpretaci I
💚 Právě když existuje ohodnocení e proměnných takových, že $F[e]$ je pravdivá v dané interpretační struktuře
💚 Právě když existuje ohodnocení e promenných takový, že formule F je v tomto ohodnocení v dané interpretaci pravdivá

31) Algebraickou strukturu (R \ \{0}, *) s operací násobení Nad množinou reálných čísel.

💚 Operace * je uzavřená na nosiči
💚 Struktura (Z\{0}, *) je podgrupou této struktury
💚 Operace * je komutativní

32) Která z následujících tvrzení o formálních teoriích jsou správné:

💚 Axiomy konzistentní teorie musí být vzájemně bezesporné
💚 Axiomy teorie jsou nezávislé, když žádný axiom není dokazatelný z jiných axiomu

33) Mezi syntaktické metody v PL 1:

💚 Formální systém Hilbertova typu.
💚 Obecná rez. metoda, Robinson.
(sémantické metody: vénovy diagramy)

34) Mezi syntaktické metody ve VL:

💚 Rezoluční metoda P,N, sémanticka tabla.
💚 Ekv. upravy, přirozena.
(sémantické metody: vénovy diagramy)
(sémantické metody: spor, tabulka?)

35) Která z následujících formulí patří mezi logické zákony?

💚 $\forall x\forall y A(x,y) \equiv \forall y\forall x A(x,y)$
💚 $\exist x\forall y A(x,y) se nerovná \exist y \forall x A(x,y)$
💚 $\forall xA(x) \supset A(x/t)$ (term t je substituovatelný za proměnnou x)
💚 $A(x/t) \supset \exist xA(x)$
💚 $\models \forall xA(x) \supset A(y)$ dictum de omni specielně
💚 $\models \forall xA(x) \supset A(x/t)$ pravidlo konkretizace
💚 $\models A(y) \supset \exist xA(x)$
💚 $\models \neg \forall xA(x) \equiv \exist x\neg A(x)$
💚 $\models \neg \exist xA(x) \equiv \forall x\neg A(x)$

36) Zákony distribuce kvantifikátorů:

💚 $\models \forall x [A(x) \supset B(x)] \supset [\forall xA(x) \supset \forall xB(x)]$
💚 $\models \forall x [A(x) \supset B(x)] \supset [\exist xA(x) \supset \exist xB(x)]$
💚 $\models \forall x [A(x) \lor B(x)] \equiv [\forall xA(x) \lor \forall xB(x)]$
💚 $\models \exist x [A(x) \lor B(x)] \supset [\exist xA(x) \lor \exist xB(x)]$
💚 $\models [\forall xA(x) \land \forall xB(x)] \supset \forall x [A(x) \land B(x)]$
💚 $\models \exist x [A(x) \land B(x)] \equiv [\exist xA(x) \land \exist xB(x)]$

37) Zákony prenexních operací ● $\models \forall x [A \supset B(x)] \equiv [A \supset \forall xB(x)]$

💚 $\models \exist x [A \supset B(x)] \equiv [A \supset \exist xB(x)]$
💚 $\models \forall x [B(x) \supset A] \equiv [\exist xB(x) \supset A]$
💚 $\models \exist x [B(x) \supset A] \equiv [\forall xB(x) \supset A]$
💚 $\models \forall x [A \lor B(x)] \equiv [A \lor \forall xB(x)]$
💚 $\models \exist x [A \lor B(x)] \equiv [A \lor \exist xB(x)]$
💚 $\models \forall x [A \land B(x)] \equiv [A \land \forall xB(x)]$
💚 $\models \exist x [A \land B(x)] \equiv [A \land \exist xB(x)]$

38) Zákony komutace kvantifikátorů:

💚 $\models \forall x\forall yA(x,y) \equiv \forall y\forall xA(x,y)$
💚 $\models \exist x\exist yA(x,y) \equiv \exist y\exist xA(x,y)$
💚 $\models \exist x\forall yA(x,y) \supset \forall y\exist xA(x,y)$

39) Mezi vlastnosti binární relace R na množině A patří:

💚 Reflexivita: $\forall x R(x,x)$
💚 Symetrie: $\forall x\forall y R(x,y) \supset R(y,x)$
💚 Reflexivita: $\forall x \neg R(x,x)$
💚 Asymetrie $\forall x\forall y R(x,y) \supset \neg R(y,x)$

40) Mezi vlastnosti binární relace R na množině A patří:

💚 $\models \forall x[B(x) \supset A] \equiv [\exist xB(x) \supset A]$
💚 $\models \forall xA(x) \supset A(y)$
💚 $\models \exist x[A(x) \land B(x)] \equiv [\exist xA(x) \land \exist xB(x)]$

Link / skok úplně nahoru

Link / skok rovnou k otázkám